Можливі обидва варіанти; словники зазначають, що прийменник ко вживається зі словом день у значенні приуроченості до якої-небудь події: подарунок до Дня вчителя, прийменник к – без значення приуроченості. Обидва варіанти правильні.
Поряд із “к” прийменник “ко” вживається перед формами слів вчорашній, шов. Таким чином, правильно: звернутися до лікаря, підійти до вчителя, відправитися до праотців; готуватися до другого пришестя, прикласти лід до чола, схилити до брехні.
День народження – згідно з правилами російської мови, якщо словосполучення “день народження” пишеться не на початку речення, то обидва слова потрібно писати з маленької літери. З великої літери пишуться тільки офіційні свята державного значення (День будівельника, День 8 березня, День Перемоги).